Τετάρτη, 28 Απριλίου 2010

Στα άδυτα της μαθηματικής σκέψης


Έχετε σκεφτεί ότι απλά καθημερινά πράγματα είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την επιστήμη των μαθηματικών; Για παράδειγμα, σήμερα Τετάρτη, 3η ημέρα της εβδομάδας και 28η του μήνα, κατεβαίνετε 20 σκαλιά του σπιτιού, διανύετε 12,5 χλμ. με το αυτοκίνητό σας ώστε να φτάσετε στη δουλειά. Πατάτε τον κωδικό χρήστη στον υπολογιστή σας και όσο μεταφράζει την εντολή με τον δυαδικό αλγόριθμο ελέγχετε το κυμαινόμενο επιτόκιο του δανείου σας.
Η ιατρική, η οικονομία, η τεχνολογία, η αστρονομία ακόμη και η φιλολογία έχουν ως βάση τα μαθηματικά, μια επιστήμη με την οποία έχουν ασχοληθεί μερικά από τα πιο λαμπρά μυαλά της ανθρωπότητας και που εμπεριέχει κάποια από τα μεγαλύτερα άλυτα μυστήρια της ιστορίας.


Οι 3 μεγαλύτεροι σύγχρονοι μαθηματικοί

1. Πολ Ερντος, ο «περιπατητικός μαθηματικός» (1913-1996)
Σε μια βαλίτσα είχε όλα τα υπάρχοντά του και σε σακούλα τις σημειώσεις από τις πρόσφατες μελέτες του. Αεικίνητος, ο Ερντος δεν στεκόταν ποτέ σε ένα μέρος. Θεωρούσε ότι ο άνθρωπος δεν έχει ανάγκη από αποκτήματα και χρήματα. Όλα του τα αγαθά τα είχε λοιπόν στα δυο του χέρια. Και μέσα στο μυαλό του. Του οφείλουμε την επίλυση πολυάριθμων μαθηματικών προβλημάτων, κυρίως στη θεωρία των αριθμών και στη συνδυαστική. Εσωτερικό παιχνίδι των μαθηματικών κύκλων αποτελεί η επίλυση των προβλημάτων που έθετε ο Ερντος, θεσπίζοντας μάλιστα και χρηματικό έπαθλο.

2. Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο ασυμβίβαστος (1966-)
Έχει χαρακτηριστεί ο «ευφυέστερος άνθρωπος στον κόσμο» και όχι άδικα καθώς χάρη σε εκείνον γνωρίζουμε πότε ένα συμπαγές αντικείμενο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με μία σφαίρα. Η εν λόγω πληροφορία μπορεί να μην προκαλεί ιδιαίτερη εντύπωση με την πρώτη ανάγνωση. Ωστόσο, ήταν η βάση της περίφημης Υπόθεσης του Πουανκαρέ, ενός από τους έξι μεγαλύτερους μαθηματικούς γρίφους που παρέμενε ανεπίλυτος έως και την αρχή του αιώνα μας και που μόνο η απόδειξή του ξετυλιγόταν σε 500 σελίδες. Προσφάτως, ο Ρώσος Μαθηματικός αρνήθηκε χρηματικό έπαθλο αξίας ενός εκατομμυρίου δολαρίων από το Ινστιτούτο Κλέι για την επίλυση του ως άνω γρίφου.

3. Τέρι Τάο, το φαινόμενο (1975-)
Αυστραλός κινεζικής καταγωγής κέρδισε το Fields Metal το 2006 (ειδικό μετάλλιο για το πεδίο των μαθηματικών που απονέμεται κάθε 4 χρόνια στον καλύτερο μαθηματικό κάτω των 40 ετών). Μαζί με τον συνεργάτη του, Ben Green, κατέληξε στο «καταπληκτικό» αποτέλεσμα για τους πρώτους αριθμούς – ότι υπάρχει μια ακολουθία πρώτων αριθμών κάθε μήκους στην οποία οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός απέχει καθορισμένη απόσταση από τον επόμενο.


Οι 3 άλυτοι μαθηματικοί γρίφοι

Υπόθεση Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών - παραμένει άλυτη 148 χρόνια

Η ακολουθία των πρώτων αριθμών (φυσικών αριθμών μεγαλύτερων της μονάδας με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες τους να είναι η μονάδα και ο εαυτός τους) ξεκινά με τους 2,3,5,7 και 11. Όσο προχωράει κανείς την ακολουθία οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται ολοένα και πιο σπάνια αλλά η κατανομή τους φαίνεται να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση. Την εν λόγω συστηματοποίηση έχουν παρατηρήσει οι επιστήμονες εδώ και αιώνες χωρίς, όμως, να έχουν καταφέρει να εξηγήσουν μερικές παρεκκλίσεις. Το 1859 ο Bemhard Riemann υπέθεσε ότι μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια μιγαδική συνάρτηση ζ (s). Η συγκεκριμένη συνάρτηση ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς διάφορους του 1 και μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Οι παραπάνω λύσεις καλούνται τετριμμένες και διαφοροποιούνται από τις μη τετριμμένες, οι οποίες αποτελούν και το αντικείμενο της υπόθεσης του Riemann. Σύμφωνα με την υπόθεση το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν τη ζ συνάρτηση είναι το 1/2. Η τελική απόδειξη δεν έχει βρεθεί ακόμα.


Εικασία Hodge: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; - παραμένει άλυτη 70 χρόνια

Στην τεχνολογία προκειμένου να δημιουργήσουν γραφικές παραστάσεις, όπως για τη Lara Croft στο Tomb Raider, χρησιμοποιούν απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία ως βάση για τα τρισδιάστατα γραφικά. Το 1930, πολύ πριν εμφανιστούν τα ηλεκτρονικά παιγνίδια, ο Σκωτζέζος μαθηματικός William Hodge αναρωτήθηκε μέχρι ποιο σημείο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου χρησιμοποιώντας ως εναρκτήρια βάση απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία με όλο και μεγαλύτερο μέγεθος. Την τεχνική της συγκόλλησης, όπως ονομάζεται, προσπάθησαν να εφαρμόσουν οι μαθηματικοί όχι μόνο στον 3-διάστατο κόσμο αλλά και σε περισσότερες διαστάσεις χωρίς, ωστόσο, να πετύχουν κάποια γενίκευση του κανόνα. Σε κάποιες περιπτώσεις βρέθηκαν μπροστά σε φαινόμενα που χρειαζόταν να προσθέσουν κομμάτια που δεν είχαν καμιά γεωμετρική σημασία. Η εικασία του Hodge ισχυρίζεται ότι για μερικούς ιδιαίτερης μαθηματικής κομψότητας χώρους, που ονομάζονται προβολικές αλγεβρικές κλάσεις, τα κομμάτια που χρησιμοποιούνται αποκαλούνται κύκλοι και είναι ρητοί γραμμικοί συνδυασμοί κομματιών με γεωμετρική σημασία.


P versus NP: Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; - παραμένει άλυτη 30 χρόνια

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται η υπόθεση ότι είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από 400 ικανοποιούν προϋποθέσεις ώστε να μην συμπεριληφθούν σε μία λίστα αλλά είναι εξαιρετικά δύσκολο να τη δημιουργήσουμε εμείς. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους, για παράδειγμα, από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν! Οι επιστήμονες το χαρακτηρίζουν πρακτικά αδύνατο καθώς δεν μπορεί να λυθεί ούτε με τον πιο ισχυρό υπερυπολογιστή του πλανήτη. Τη δεκαετία του 1970 οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν το πρόβλημα με Ρ το ενδεχόμενο να βρεθεί λύση και ΝΡ να μπορεί να ελεγχθεί η λύση. Γενικά, επικεντρώνεται στο αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν και κατά πόσο είναι πρακτικά δυνατό να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες. Το εν λόγω πρόβλημα είναι θεμελιώδες για την ασφάλεια των υπολογιστών. Σε πολλά καθημερινά προβλήματα όπως η δημιουργία κωδικών για να κρυπτογραφούνται οι χιλιάδες χρηματικές συναλλαγές, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι οι οποίοι αποτελούν την πραγματική ουσία του προβλήματος. Είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά δύσκολο να βρεθούν.

0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου